2018届高考数学模拟试题3(中山市带答案)

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2018届高考数学模拟试题3(中山市带答案)

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2018高考高三数学3月月考模拟试题03
第一部分  选择题(共40分)
一、选择题:(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设 为虚数单位,则复数 等于
A.      B.         C.      D. 
2.已知集合 , , ,则
A. 0           B. 3          C. 4           D. 3或4
3.已知向量 , ,则
 A.             B.          C.              D. 
4、函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内的零点个数为
A、0  B、1  C、2  D、3
5.已知实数 满足 ,则目标函数 的最大值为
A.              B.              C.              D.
6.已知一个几何体的三视图及其大小如图1,这个几何体的体积
A.         B.        C.       D.               

7.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件 =“取到的2个数之和为偶数”,事件 =“取到的2个数
均为偶数”,则  = (  ).
(A)              (B)           (C)            (D)
8.设向量 , ,定义一运算:   ,
  已知 , 。点Q在 的图像上运动,且满足  (其中O为坐标原点),则 的最大值及最小正周期分别是
A.             B.        C.         D.
第二部分  非选择题(共110分)
二、填空题(本大题共7小题,分为必做题和选做题两部分,每小题5分,满分30分)。
(一)必做题:第9至13题为必做题,每道试题考生都必须作答。
9. 已知不等式 的解集与不等式 的解集
相同,则 的值为    
10. 若  n的展开式中所有二项式系数之和为64,则
展开式的常数项为        .
11.已知等差数列 的首项 ,前三项之和 ,则
 的通项 .
12. 计算   =         . 
13.如图,是一程序框图,则输出结果为
       ,               . 。
(说明, 是赋值语句,也可以写成 ,或
(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)
⒕(几何证明选讲选做题)如图3,圆 的割线 交圆
 于 、 两点,割线 经过圆心。已知 ,
 , 。则圆 的半径 . 
⒖(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 ( )中,直线 被圆 截得的弦的长是          .

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤。

16.(本小题满分12分)
已知函数 .
(Ⅰ)求 的最小正周期;.
(Ⅱ)设 ,求 的值域和单调递增区间.

17.(本小题满分12分)某次运动会在我市举行,为了搞好接待工作,组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者,调查发现,男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动,其余不喜爱。
   (1)根据以上数据完成以下2×2列联表:
  喜爱运动 不喜爱运动 总计
男 10   16
女 6   14
总计     30
   (2)根据列联表的独立性检验,能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关?
   (3)从女志愿者中抽取2人参加接待工作,若其中喜爱运动的人数为 ,求 的分布列和均值。
 参考公式: ,其中
 
参考数据:
 
0.40 0.25 0.10 0.010
 
0.708 1.323 2.706 6.635
 


18.(本题满分14分)
如图所示,已知 为圆 的直径,点 为线段 上一点,
且 ,点 为圆 上一点,且 .
点 在圆 所在平面上的正投影为点 , .
(1)求证: ;
(2)求二面角 的余弦值.

19.(本题满分14分)
已知数列 满足: ,且  ( ).
(Ⅰ)求证:数列 为等差数列;
(Ⅱ)求数列 的通项公式;
(Ⅲ)求下表中前 行所有数的和 .


20.(本题满分14分)
设椭圆 的左右顶点分别为 ,离心率 .
过该椭圆上任一点 作 轴,垂足为 ,点 在 的延长线上,且 .
(1)求椭圆的方程;
(2)求动点 的轨迹 的方程;
(3)设直线 ( 点不同于 )与直线 交于点 , 为线段 的中点,试判断直线 与曲线 的位置关系,并证明你的结论.

21.(本题满分14分)
设 ,函数 .
(Ⅰ)证明:存在唯一实数 ,使 ;
(Ⅱ)定义数列 : , , .
(i)求证:对任意正整数n都有 ;
(ii) 当 时, 若 ,
证明:对任意 都有: .

 

参考答案
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C C C B B C
二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.
(一)必做题(9~13题)
9.-1 __  .    10.    -160   .    11. .    12. .    13.11,  .(2分,3分)
(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)
⒕ ;    ⒖ .
2.解析: 3或4
7.提示:“从1,2,3,4,5中任取2个不同的数”一共有 种不同选取方式,其中满足事件 的有 种选取方式,所以 ,而满足事件 要求的有 种,即 ,再由条件概率计算公式,得
16.(本小题满分12分)
网解:(Ⅰ)∵ 
 
 的最小正周期为 .                  ……  5分
(Ⅱ)∵ ,   ,     .                        
 的值域为 .                        ………  10分
 当 递减时, 递增.            
 ,即 .        
故 的递增区间为 .                …………12分

17.解:(1)
  喜爱运动 不喜爱运动 总计
男 10 6 16
女 6 8 14
总计 16 14 30
    ……2分
   (2)假设:是否喜爱运动与性别无关,由已知数据可求得:
 
 因此,在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关 6分
   (3)喜爱运动的人数为 的取值分别为:0,1,2,其概率分别为:
                ……8分
 喜爱运动的人数为 的分布列为:
 
0 1 2

 
 

 ……10分
 所以喜爱运动的人数 的值为:     … 12分

18.(本题满分14分)
解析:(Ⅰ)法1:连接 ,由 知,点 为 的中点,
又∵ 为圆 的直径,∴ ,
由 知, ,
∴ 为等边三角形,从而 .-----------------3分
∵点 在圆 所在平面上的正投影为点 ,
∴ 平面 ,又 平面 ,
∴ ,-----------------5分
由 得, 平面 ,
又 平面 ,∴ .                                      -----------------6分
(注:证明 平面 时,也可以由平面 平面 得到,酌情给分.)
法2:∵ 为圆 的直径,∴ ,
在 中设 ,由 , 得, , , ,
∴ ,则 ,
∴ ,即 .                                       -----------------3分
∵点 在圆 所在平面上的正投影为点 ,
∴ 平面 ,又 平面 ,
∴ ,                                                           -5分
由 得, 平面 ,
又 平面 ,∴ .     ---------6分
法3:∵ 为圆 的直径,∴ ,
在 中由 得, ,
设 ,由 得, , ,
由余弦定理得, ,
∴ ,即 .          -----3分
∵点 在圆 所在平面上的正投影为点 ,
∴ 平面 ,又 平面 ,
∴ ,                                                             ------5分
由 得, 平面 ,
又 平面 ,∴ .           -----------6分
(Ⅱ)法1:(综合法)过点 作 ,垂足为 ,连接 .              -----------------7分
由(1)知 平面 ,又 平面 ,
∴ ,又 ,
∴ 平面 ,又 平面 ,
∴ ,-----------------9分
∴ 为二面角 的平面角. -----------------10分
由(Ⅰ)可知 , ,
(注:在第(Ⅰ)问中使用方法1时,此处需要设出线段的长度,酌情给分.)
∴ ,则 ,
∴在 中, ,
∴ ,即二面角 的余弦值为 .       --------14分
法2:(坐标法)以 为原点, 、 和 的方向分别为 轴、 轴和 轴的正向,建立如图所示的空间直角坐标系.                                                           -----------------8分
(注:如果第(Ⅰ)问就使用“坐标法”时,建系之前先要证明 ,酌情给分.)
设 ,由 , 得, , ,
∴ , , , ,
∴ , , ,
由 平面 ,知平面 的一个法向量为 .           -----------------10分
设平面 的一个法向量为 ,则
 ,即 ,令 ,则 , ,
∴ ,-----------------12分
设二面角 的平面角的大小为 ,
则 ,-----------------13分
∴二面角 的余弦值为 .-----------------14分

 

19.解:(Ⅰ)由条件 ,  ,得
            ………………2分
∴ 数列 为等差数列.               ……3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得      …………4分
∴        ………………7分
∴                       .………… 8分
(Ⅲ)     ( )  ………………………10分
∴  第 行各数之和 
        ( )………….…12分     
∴ 表中前 行所有数的和
 
   
  .                          ………….…14分
20.(本题满分14分)
解析:(1)由题意可得 , ,∴ ,          -.--2分
∴ ,
所以椭圆的方程为 .                               --------4分
(2)设 , ,由题意得 ,即 ,        --------6分
又 ,代入得 ,即 .
即动点 的轨迹 的方程为 .                               -------8分
(3)设 ,点 的坐标为 ,
∵ 三点共线,∴ ,
而 , ,则 ,
∴ ,
∴点 的坐标为 ,点 的坐标为 ,           -------10分
∴直线 的斜率为 ,
而 ,∴ ,
∴ ,                                                -------12分
∴直线 的方程为 ,化简得 ,
∴圆心 到直线 的距离 ,
所以直线 与圆 相切.                                            -------14分
21.(本题满分14分)
(Ⅰ)证明: ① .                 1分
令 ,则 , ,
∴ .                           …………… 2分
又 ,∴ 是R上的增函数.   …… 3分
故 在区间 上有唯一零点,
即存在唯一实数 使 .         ……… 4分
②当 时,  , ,由①知 ,即 成立;………… 5分
设当 时,  ,注意到 在 上是减函数,且 ,
故有: ,即
∴ ,     …………………… 7分
即 .这就是说, 时,结论也成立.
故对任意正整数 都有: .    ………… 8分
(2)当 时,由 得: ,     …………… 9分
  …………… 10分
当 时, ,
∴  
       …….………… 12分
对 ,
           …… 13分
 
     ……… 14分

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