2018年中山市高考数学模拟试题2（有答案）

2018高考高三数学3月月考模拟试题02
共150分，考试用时120分钟
第Ⅰ卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1) 是虚数单位，复数 /等于
   (A)        (B)        (C)       (D)
 第3题图
(2)已知实数x，y满足条件   
那么2x-y的最大值为
  (A) -3            (B) -2
  (C)1             (D)2
(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，
    当输入挖的值为10时，输出S的值为
    (A) 45          (B) 49
    (C) 52          (D) 54
(4)设 ，则
(A)         (B)
(C)         (D)
(5)设x∈R，则“x>0"是“ "的
    (A)充分而不必要条件
    (B)必要而不充分条件
    (C)充分必要条件
    (D)既不充分也不必要条件
(6)函数 在区间 上零点的个数为
    (A)0           (B)l
    (C)2           (D)3
(7)直角三角形ABC中， ，点D在斜边AB上，且 , ,若 ，则
(A)                (B)
 (C)              (D）
(8)下列函数中，同时具有性质：①图象过点(0，1):②在区间 上是减函数；
  ③是偶函数。这样的函数是
  (A)         (B)
  (C)           (D)
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
(9)已知集合  ,
则 ________．
 11图
(10)一个几何体的三视图如图所示（单位：m），
    则该几何体的体积为_______ ．
(11)如图， 内接于圆O，过点C的切线交
    AB的延长线于点D，若 ，
    则切线DC的长为____．

(12)若 在圆 上，则直线 与圆 相交所得弦的长为_____________。
(13)已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为5，双曲线 的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值
为_______。
(14)，已知函数 ,(其中e为自然对数的底数，且 ，若 ，则实数a的取值范围是______.
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
(15)（本小题满分13分）
    在 中， ．
   (I)求 的值；
   (Ⅱ)求sinB的值．
(16)（本小题满分13分）
      某中学一、二、三年级分别有普法志愿者36人、72人、54人，用分层抽样的方法从这三个年级抽取一个样本，已知样本中三年级志愿者有3人．
   (I)分别求出样本中一、二年级志愿者的人数；
   (Ⅱ)用 表示样本中一年级的志愿者， 表示样本中二年级的志愿者，现从样本中一、二年级的所有志愿者中随机抽取2人，
    ①用以上志愿者的表示方法，用列举法列出上述所有可能情况；
(17)（本小题满分13分）
    
如图，四边形ABCD为矩形，SA 平面ABCD，E、F分别是SC、SD的中点， ,
  (I)求证：EF∥平面SAB；
  (Ⅱ)求证。SD 平面AEF；
  (Ⅲ)求直线BF与平面SAD所成角的大小．

(18)（本小题满分13分）
    已知等差数列 中 ，公差d>0，前n项和为 ，且 成等比
数列．
    (I)求数列 的通项公式 及 ；
    (Ⅱ)设 ，证明 ．
(19)（本小题满分14分）
  已知函数 ，其中 ．
   ( I)当a =1时，求函数 的单调递减区间；
   (Ⅱ)若函数 在区间(1，2)上不是单调函数，求实数a的取值范围；
   (Ⅲ)若 时，函数 在x=0处取得最小值，求实数a的取值范围．
(20)（本小题满分14分）
    已知椭圆 的长轴长是短轴长的两倍，且过点 ，点C
关于原点O的对称点为点D．
    (I)求椭圆E的方程；
    (Ⅱ)点P在椭圆E上，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由：
    (Ⅲ)平行于CD的直线 交椭圆E于M，N两点，求 CMN面积的最大值，并求此时直线 的方程．

参考答案
一、选择题：
（1）（B）  （2）（C）  （3）（D） （4）（A）
（5）（C）  （6）(C)  （7）(D)  （8）（A）

二、填空题：
（9）  （10）   (11)12  （12）2  （13）   （14）

三、解答题
（15）（Ⅰ）∵   ∴        ………………1分
  ∴   ∴ 
  ∴         ……………3分
   与 联立得 ，   ………………5分
∴         ……………………………………………………6分
∴      …………………………………………………7分
（Ⅱ）∵    ……………………………………8分
 ∴   ∴   ………………10分
 ∵    …………………………………………………………………11分
     ∴    ∴      …………………………………………13分

（16）（Ⅰ）依题意，分层抽样的抽样比为  ……………………………………2分
      ∴ 在一年级抽取的人数为 人  ………………………………………3分
         在二年级抽取的人数为 人  ………………………………………4分
  （Ⅱ）①用 表示样本中一年级的2名志愿者，用 表示样本中
二年级的4名志愿者。则抽取二人的情况为
                      ……………………9分
②抽取的二人在同一年级的情况是
共7种                                                   ……………10分
     由①知抽取二人的不同情况共有15种 …………………………………………11分
  ∵ 每一种情况发生的可能性都是等可能的 …………………………………………12分
∴ 抽取的二人是同一年级的概率为 ………………………………………………13分

（17）（Ⅰ）∵  分别为 的中点 ∴  是 的边 的中位线
   ∴  ∥  …………………………………………………………………………1分
   ∵ 四边形 为矩形 ∴  ∥  ∴  ∥   …………………………2分
   ∵  平面   平面  ∴  ∥平面   ………………………4分
 （Ⅱ）∵  ， 为 的中点 ∴  …………………………………5分
   ∵  平面 ， 平面  ∴ 
   ∵  ， 是平面 内的两条相交直线
∴  平面 
∵  平面  ∴                  ………………………………7分
   ∵  ∥ 
∴                …………………………………………………………8分
∵  是平面 内的两条相交直线
   ∴  平面   …………………………………………………………………9分
 （Ⅲ）由（Ⅱ） 平面
    ∴ 是 在平面 上的射影
    ∴ 是直线 与平面 所成的角            ………………………11分
     在直角三角形 中，
∴                              ………………………………13分

（18）（Ⅰ）由题意 ，  ， ………2分
         ∴
        解得 （舍去）或  …………………………………………………4分
         ∴              …………………………………………………………6分
            ………………………………………………………8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得    ………………………………10分
        ∴ 
                        
        即    ………………………………………………………13分

（19）（Ⅰ）当 时， ． ,
     由 得 ,
     即当 时，函数 的单调递减区间为 ．       …………3分
 （Ⅱ）
 依题意知方程 在区间（1，2）内有不重复的零点，   ………5分
而 ,由 得  
∵x ∈（1，2），  ∴ ,∴ ；
令  （x∈（1，2）），则 ，
∴ 在区间（1，2）上是单调递增函数，其值域为 ，
故 的取值范围是 ．                ………………………8分
 （Ⅲ）由题意可知，当 [0，3]时， =0恒成立,
即 [0，3]时,  恒成立．     ………………………9分
记
当 时， 在 [0，3]时恒成立,符合题意；
当 时，由于 ，则不符合题意；
当 时，由于 ，则只需 ，得 ，
即 ．                        ………………………13分
综上,  ．                     ………………………14分

（20）（Ⅰ）                       …………1分
椭圆E过点C（2，1）代入椭圆方程得
 ，
所求椭圆E的方程为   …………4分
   （Ⅱ）依题意得D（-2，-1）在椭圆E上
CP和DP的斜率 均存在
设P（x，y）则
   …………6分
又 点P在椭圆E上
 
所以CP和DP的斜率 之积为定值  …………9分
   （Ⅲ）CD的斜率为 ，
 平行于直线
 
由
消去y，整理得   
设

由 
当且仅当 时取等号，即 时取等号
所以 面积的最大值为2
此时直线 的方程             ………………………………14分