2017年七年级数学上3.4二元一次方程组的应用教案(沪科版)

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2017年七年级数学上3.4二元一次方程组的应用教案(沪科版)

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3.4 二元一次方程组的应用
第1课时 简单实际问题和行程问题
 
1.能够根据具体的数量关系,列出二元一次方程组解决简单的实际问题.
2.学会利用二元一次方程组解决行程问题.
 
重点
理解列二元一次方程组解应用题的一般步骤.
难点
会灵活运用列方程组解决实际问题.
 
一、复习旧知,导入新知
我们学习了列一元一次方程解应用题的一般步骤,那么列方程分为哪几个基本步骤?学生积极回答:
(1)审题设未知数;
(2)找相等关系;
(3)列方程;
(4)解方程;
(5)检验,写出答案.
这一节我们来学习用二元一次方程组解决实际问题(板书课题).
二、自主合作,感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际,完成《•》“预习导学”部分.
三、师生互动,理解新知
探究点一:列方程组解决简单实际问题
问题1:某市举办中学生足球赛,规定胜一场得3分,平一场得1分.一球队共比赛11场,没输过一场,一共得27分.问该队胜几场,平几场?
分析题意(方法一):
(1)该队共进行比赛多少场,有没有输?(没有)
(2)若假设胜了x场,则平多少场?(11-x)
(3)胜一场得3分,胜x场得了多少分?(3x)
(4)平一场得1分,平局共得多少分?(11-x)
(5)该队共得27分.
(6)你找到等量关系了吗?(胜场得分+平局得分=总分)
通过以上分析列出方程.
解:设该队胜x场,则平了(11-x)场.
由题意可得
3x+(11-x)=27.
解得x=8.
11-x=11-8=3.
答:该队胜8场,平3场.
分析题意(方法二):
(1)若假设胜了x场,平局为y场,共进行11场比赛.你能找到它们三者之间的等量关系吗?(胜局场数+平局场数=总场数)
(2)胜一场得3分,胜x场共得了3x分,平一场得1分,平局y场共得y分,一共得27分,这3个得分间有什么等量关系呢?(胜场得分+平局得分=总分)
设两个未知数,就需要列二元一次方程组来解决,你能列出这个方程组吗?
解:设胜了x场,平局为y场,得方程组
x+y=11,3x+y=27.解得x=8,y=3.
答:该队胜8场,平3场.
由例题可知,有些题目既可以引入一个未知数,建立一元一次方程,也可以引入两个未知数,建立二元一次方程组.讨论交流这两种方法各有什么特点?
探究点二:列方程组解决行程问题
行程问题:
(1)追击问题:追击问题是行程问题中很重要的一种,它的特点是同向而行.这类问题比较直观,画线段,用图便于理解与分析.其等量关系式是:两者的行程差=开始时两者相距的路程;路程=速度×时间;速度=路程时间;时间=路程速度.
(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种,它的特点是相向而行.这类问题也比较直观,因而也可画线段图帮助理解与分析.这类问题的等量关系是:双方所走的路程之和=总路程.
(3)航行问题:①船在静水中的速度+水速=船的顺水速度;
②船在静水中的速度-水速=船的逆水速度;
③顺水速度-逆水速度=2×水速.
注意:飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行,解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似.
问题2:一列火车长300米,某人和火车同向而行,则整列火车经过人身边需20秒.若相向而行,则整列火车经过人身边需15秒.求火车和人的速度.
解析:(1)同向时,火车所行路程比人要多出多少?(多出一个车身的长度)
(2)相向时,火车与人共同行了多少?(一个车身的长度)
小组讨论:题目中的相等关系:
同向时:火车行的路程-人行的路程=车长
相向时:火车行的路程+人行的路程=车长
解:设火车行驶的速度为x米/秒,人行走的速度为y米/秒,根据题意,得
20x-20y=300,15x+15y=300,解得x=17.5,y=2.5.
答:火车行驶的速度为17.5米/秒,人行走的速度为2.5米/秒.
问题3:甲、乙两地相距4 km,以各自的速度同时出发.如果同向而行,甲2 h追上乙;如果相向而行,两人0.5 h后相遇.试问两人的速度各是多少?
解析:对于行程问题,一般可以借助示意图表示题中的数量关系,可以更加直观地找到等量关系.
(1) 同时出发,同向而行
 
甲2 h行程=4 km+乙2 h行程
(2) 同时出发,相向而行
 
甲0.5 h行程+乙0.5 h行程=4 km
解:设甲、乙的速度分别为x km/h,y km/h.根据题意与分析中图示的两个相等关系,得
2x-2y=4,12x+12y=4.解方程组,得x=5,y=3.
答:甲的速度为5 km/h,乙的速度为3 km/h.
四、应用迁移,运用新知
1.列方程组解决简单实际问题
例1 某船的载重量为300吨,容积为1200立方米,现有甲、乙两种货物要运,其中甲种货物每吨体积为6立方米,乙种货物每吨体积为2立方米,要充分利用这艘船的载重和容积,甲、乙两种货物应各装多少吨?
解:设甲种货物装x吨,乙种货物装y吨.由题意,得x+y=300,6x+2y=1200,解得x=150,y=150.
答:甲、乙两种货物各装150吨.
方法总结:列方程组解应用题一般都要经历“审、设、找、列、解、答”这六个步骤,其关键在于审清题意,找等量关系;设未知数时,一般是求什么,设什么;并且所列方程的个数与未知数的个数相等.
2.列方程组解决行程问题——相遇问题
例2 某体育场的一条环形跑道长400 m.甲、乙两人从跑道上同一地点出发,分别以不变的速度练习长跑和骑自行车.如果背向而行,每隔12 min他们相遇一次;如果同向而行,每隔43 min乙就追上甲一次.问甲、乙每分钟各行多少米?
解析:题中的两个相等关系为:①乙骑车的路程+甲跑步的路程=400 m(背向);②乙骑车的路程-甲跑步的路程=400 m(同向).
解:设乙骑车每分钟行x m,甲每分钟跑y m,由题意,得12x+12y=400,43x-43y=400.解得x=550,y=250.
答:甲每分钟跑250 m,乙每分钟骑550 m.
方法总结:环行道路上的等量关系:若同时同地出发,背向而行时,则第一次相遇时,二者路程之和=一周长;若同时同地出发,同向而行,则第一次相遇时,快者的路程-慢者的路程=一周长.
3.列方程组解决行程问题——航行问题
例3 A、B两码头相距140 km,一艘轮船在其间航行,顺水航行用了7 h,逆水航行用了10 h,求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.
解析:设这艘轮船在静水中的速度为x km/h,水流速度为y km/h,列表如下:

 路程 速度 时间
顺流 140 km (x+y) km/h 7 h
逆流 140 km (x-y) km/h 10 h
  解:设这艘轮船在静水中的速度为x km/h,水流速度为y km/h.由题意,得7(x+y)=140,10(x-y)=140.解得x=17,y=3.
答:这艘轮船在静水中的速度为17 km/h,水流速度为3 km/h.
方法总结:本题关键是找到各速度之间的关系,顺速=静速+水速,逆速=静速-水速;再结合公式“路程=速度×时间”列方程组.
五、尝试练习,掌握新知
课本P109练习第1~3题.
《•》“随堂演练”部分.
六、课堂小结,梳理新知
通过本节课的学习,我们都学到了哪些数学知识和方法?
本节课学习了能够根据具体的数量关系,列出二元一次方程组解决简单的实际问题;能利用二元一次方程组解决行程问题.
七、深化练习,巩固新知
课本P112习题3.4第1、2、7题.
《•》“课时作业”部分.

 


第2课时 百分率和配套问题

 
1.学会运用二元一次方程组解决百分率和配套问题.
2.进一步经历和体验方程组解决实际问题的过程.
 
重点
根据题中的各个量的关系,准确列出方程组.
难点
借助列表,数与数之间的关系,分析出问题中所蕴涵的数量关系.
 
一、复习旧知,导入新知
前面我们结合实际问题,讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组.本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题.
二、自主合作,感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际,完成《•》“预习导学”部分.
三、师生互动,理解新知
探究点一:列方程组解决百分率问题
问题1:浓度问题:浓度=溶质质量÷溶液质量;溶质质量=溶液质量×浓度.
玻璃厂熔炼玻璃液,原料是石英砂和长石粉混合而成,要求原料中含二氧化硅70%.根据化验,石英砂中含二氧化硅99%,长石粉中含二氧化硅67%.试问在3.2吨原料中,石英砂和长石粉各多少吨?
解析:问题中涉及了哪些已知量和未知量?它们之间有何关系?引入未知数,填写下表:

 石英砂/t 长石粉/t 总量/t
需要量 x y 3.2
含二氧化硅 99%x 67%y 70%×3.2
  解:设需石英砂x t,长石粉y t.
根据题意可列出方程组:
x+y=3.2,99%x+67%y=70%×3.2,
解方程组,得x=0.3,y=2.9.
答:在3.2 t原料中,需石英砂0.3 t,长石粉2.9 t.
问题2:增长率问题:原量×(1+增长率)=增长后的量;原量×(1-减少率)=减少后的量.
甲、乙两种商品原来的单价和为100元,因市场变化,甲商品降价10%,乙商品提价40%,调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%.求甲、乙两种商品原来的单价.
解析:问题中涉及了哪些已知量和未知量?它们之间有何关系?引入未知数,填写下表:

 甲/元 乙/元 合计/元
原单价 x y 100
现单价 (1-10%)x (1+40%)y 100×(1+20%)
  解:设甲商品原单价为x 元,乙商品原单价为y 元.
根据题意可列出方程组:
x+y=100,(1-10%)x+(1+40%)y=100×(1+20%),
解方程组,得x=40,y=60.
答:甲商品原单价为40元,乙商品原单价为60元.
探究点二:列方程组解决配套问题
问题3:配套问题基本等量关系:总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例
某村18位农民筹集5万元资金,承包了一些低产田地.根据市场调查,他们计划对种植作物的品种进行调整,改种蔬菜和荞麦.种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表:

作物品种 每公顷所需人数 每公顷投入资金/万元
蔬菜 5 1.5
荞麦 4 1
  在现有情况下,这18位农民应承包多少公顷田地,怎样安排种植才能使所有人都有工作,且资金正好够用?
解析:怎样理解“所有的人都有工作”及“资金正好够用”?能用等式来表示它们吗?根据题意列表如下:

作物
品种 种植面积S/hm2 需要人数 投入资金/万元
蔬菜 x 5x 1.5x
荞麦 y 4y y
合计  18 5
  解:设蔬菜种植x hm2,荞麦种植y hm2,
根据题意列出方程组:5x+4y=18,1.5x+y=5,
解方程组,得x=2,y=2.
故承包田地的面积为: x+y=4 (hm2).
人员安排为:5x=5×2=10(人);4y=4×2=8(人).
答:这18位农民应承包4公顷田地,种植蔬菜和荞麦各2公顷,并安排10人种蔬菜,8人种荞麦,这样能使所有人都有工作且资金正好够用.
生产中的配套问题很多,如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例,依次设未知数,用未知数可把它们之间的数量关系表示出来,从而得到方程组,使问题得以解决,确定等量关系是解题的关键.
四、应用迁移,运用新知
1.列方程组解决增长率问题
例1 为了解决民工子女入学难的问题,我市建立了一套进城民工子女就学的保障机制,其中一项就是免交“借读费”.据统计,去年秋季有5000名民工子女进入主城区中小学学习,预测今年秋季进入主城区中小学学习的民工子女将比去年有所增加,其中小学增加20%,中学增加30%,这样今年秋季将新增1160名民工子女在主城区中小学学习.
(1)如果按小学每年收“借读费”500元、中学每年收“借读费”1000元计算,求今年秋季新增的1160名中小学生共免收多少“借读费”?
(2)如果小学每40名学生配备2名教师,中学每40名学生配备3名教师,按今年秋季入学后,民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算,一共需配备多少名中小学教师?
解析:解决此题的关键是求出今年秋季入学的学生中,小学生和初中生各有民工子女多少人.欲求解这个问题,先要求出去年秋季入学的学生中,小学生和初中生各有民工子女多少人.
解:(1)设去年秋季在主城区小学学习的民工子女有x人,在主城区中学学习的民工子女有y人,则x+y=5000,20%x+30%y=1160.解得x=3400,y=1600.
20%x=680,30%y=480,500×680+1000×480=820000(元)=82(万元).
答:今年秋季新增的1160名中小学生共免收82万元“借读费”;
(2)今年秋季入学后,在小学就读的民工子女有3400×(1+20%)=4080(人),在中学就读的民工子女有1600×(1+30%)=2080(人),需要配备的中小学教师(4080÷40)×2+(2080÷40)×3=360(名).
答:一共需配备360名中小学教师.
方法总结:在解决增长相关的问题中,应注意原来的量与增加后的量之间的换算关系:增长率=(增长后的量-原量)÷原量.
2.列方程组解决利润问题
例2 某商场购进甲、乙两种商品后,甲商品加价50%、乙商品加价40%作为标价,适逢元旦,商场举办促销活动,甲商品打八折销售,乙商品打八五折酬宾,某顾客购买甲、乙商品各1件,共付款538元,已知商场共盈利88元,求甲、乙两种商品的进价各是多少元.
解析:本题中所含的等量关系有:①甲商品的售价+乙商品的售价=538元;②甲商品的利润+乙商品的利润=88元.
解:设甲商品的进价为x元,乙商品的进价为y元,根据题意,得
x+y+88=538,x(1+50%)×80%+y(1+40%)×85%=538.
化简,得x+y=450,1.2x+1.19y=538.解得x=250,y=200.
答:甲商品的进价为250元,乙商品的进价为200元.
方法总结:销售问题中进价、利润、售价、折扣等量之间的关系:利润=售价-进价,售价=标价×折扣,售价=进价+利润等.
3.列方程组解决配套问题
例3  现用190张铁皮做盒子,每张铁皮可以做8个盒身或22个盒底,一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子,用多少张铁皮制盒身,多少张铁皮制盒底,可以正好制成一批完整的盒子?
解析:此题有两个未知量——制盒身、盒底的铁皮张数.问题中有两个等量关系:(1)制盒身铁皮张数+制盒底铁皮张数=190;(2)制成盒身的个数的2倍=制成盒底的个数.
解:设制盒身的铁皮数为x张,制盒底的铁皮数为y张,根据题意,得x+y=190,2×8x=22y.解得x=110,y=80.
答:110张铁皮制盒身,80张铁皮制盒底.
方法总结:找出本题中的两个等量关系是解题的关键,解决配套问题时,一定要抓住题目中的特定的数量关系,根据等量关系列出方程组求解.
五、尝试练习,掌握新知
课本P110练习第1、2题、P111练习第1、2题.
《•》“随堂演练”部分.
六、课堂小结,梳理新知
通过本节课的学习,我们都学到了哪些数学知识和方法?
本节课学习了运用二元一次方程组解决百分率和配套问题,进一步经历和体验方程组解决实际问题的过程.
七、深化练习,巩固新知
课本P112习题3.4第3~6题.
《•》“课时作业”部分.
 

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